今回扱うガウスの超幾何関数$F(a,b,c,z)$は次のセルの式で定義されます。ここで登場する$(a)_n$はポッホハマー記号と呼ばれ次の式で定義されます。 $$(a)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(a+k)=\frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}$$

In [1]:
hypergeometric([a,b],[c],z)=sum(pochhammer(a,n)*pochhammer(b,n)/(pochhammer(c,n)*n!)*z^n,n,0,inf);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}F\left( \left. \begin{array}{c}a,\;b\\c\end{array} \right |,z\right)=\sum_{n=0}^{\infty }{\frac{\left(a\right)_{n}\,\left(b\right)_{n}\,z^{n}}{\left(c\right)_{n}\,n!}}\] 
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::SIMP-HYPERGEOMETRIC in DEFUN
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::SIMP-UNIT-STEP in DEFUN
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::SIMP-POCHHAMMER in DEFUN

超幾何関数は$a,b,c,z$に様々な値や式を代入することで、多くの初等関数や特殊関数を表すことができます。ここでは$\cos{z}$が次の超幾何関数で表されることを見てます。確認のために次の超幾何関数と$\cos{z}$をテイラー展開して係数が一致することを見てみましょう。

In [2]:
hypergeometric([],[1/2],-z^2/4);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\\\frac{1}{2}\end{array} \right |,-\frac{z^2}{4}\right)\]
In [3]:
taylor(%o2,z,0,15);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}-\frac{z^{14}}{87178291200}+\frac{z^{12}}{479001600}-\frac{z^{10}}{3628800}+\frac{z^8}{40320}-\frac{z^6}{720}+\frac{z^4}{24}-\frac{z^2}{2}+1\]
In [4]:
taylor(cos(z),z,0,15);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}-\frac{z^{14}}{87178291200}+\frac{z^{12}}{479001600}-\frac{z^{10}}{3628800}+\frac{z^8}{40320}-\frac{z^6}{720}+\frac{z^4}{24}-\frac{z^2}{2}+1\]

超幾何関数が初等関数や特殊関数で表せる場合に、Maximaではそのような簡約を実行することができます。%o2として定義した超幾何関数を簡約してみましょう。

In [5]:
besselexpand:true$
hypergeometric_simp(%o2);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\cos z\]
In [6]:
hypergeometric([],[1/2],-z^2/4);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\\\frac{1}{2}\end{array} \right |,-\frac{z^2}{4}\right)\]

上記の式で定義された超幾何関数が$\cos{z}$に等しいことを級数展開の係数が一致することで証明します。 $$\cos{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,z^{2\,n}}{(2\,n)!}$$ は既知とします。 超幾何関数の定義式より、$F\left( \left. \begin{array}{c}\\c\end{array} \right |,x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{(c)_n\,n!}$ですから、この総和記号の中身と$\cos{z}$の展開式の総和記号の中身が一致することを示します。

In [7]:
declare(n,integer)$
1/pochhammer(c,n)*x^n/n!;
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\frac{x^{n}}{\left(c\right)_{n}\,n!}\]

ポッホハマー記号および階乗記号をガンマ関数に書き直してみます。

In [8]:
makegamma(%);
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}\frac{\Gamma\left(c\right)\,x^{n}}{\Gamma\left(n+1\right)\,\Gamma\left(n+c\right)}\]

ここに$c=\frac{1}{2}, x=-\frac{z^2}{4}$を代入してみます。

In [9]:
CTERM:%,c=1/2,x=-z^2/4;
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}\frac{\sqrt{\pi}\,\left(-1\right)^{n}\,z^{2\,n}}{4^{n}\,\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)\,\Gamma\left(n+1\right)}\]

半整数に対するガンマ関数の計算をルールとして定義してそれを適用します。定義しているルールは、 $$\Gamma(n+\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\,\frac{(2\,n-1)!!}{2^n}$$ です。ただ、Maximaの2重階乗の処理の都合でgenfact関数に変換されて表示されます。

In [10]:
matchdeclare(exp,lambda([exp],featurep(exp,integer)))$
defrule(gamma_half_int,gamma(exp+1/2),sqrt(%pi)*(2*exp-1)!!/2^exp);
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{13}$}{\it gamma\_half\_int}:\Gamma\left(\exp +\frac{1}{2}\right)\rightarrow \frac{\sqrt{\pi}\,{\it genfact}\left(2\,\exp -1 , \frac{2\,\exp -1}{2} , 2\right)}{2^{\exp }}\]
In [11]:
apply1(CTERM,gamma_half_int);
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{14}$}\frac{\left(-1\right)^{n}\,2^{n}\,z^{2\,n}}{4^{n}\,\Gamma\left(n+1\right)\,{\it genfact}\left(2\,n-1 , \frac{2\,n-1}{2} , 2\right)}\]
In [12]:
%,radcan;
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{15}$}\frac{\left(-1\right)^{n}\,z^{2\,n}}{2^{n}\,\Gamma\left(n+1\right)\,{\it genfact}\left(2\,n-1 , \frac{2\,n-1}{2} , 2\right)}\]

色々と約分されてようやくここまで変形できました。$genfact(2\,n-1,\frac{(2\,n-1)}{2},2)=(2\,n-1)!!$であることを思い出してください。これは$2\,n-1$以下の全ての奇数の積です。

$\Gamma(n+1)=n!$なのでこれは$n$以下の全ての自然数の積です。最初の$2^n$をこの$n!$に分けてかけると、$2\,n$以下の全ての偶数の積が得られます。つまり$2^n\cdot \Gamma(n+1)=(2\,n)!!$です。

したがって上記の式の分母は$(2\,n)!!\cdot(2\,n-1)!!$となるのですが、この積は結局$2\,n$以下の全ての自然数の積になります。つまり$(2\,n)!$に等しくなります。というわけで上記の式は次の式に等しくなります。 $$\frac{\left(-1\right)^{n}\,z^{2\,n}}{(2\,n)!}$$

$\cos{z}$のテイラー展開と一致していることが分かります。 （証明終了）

超幾何関数の定義とcos zの超幾何関数表現

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