B.C.Berndt: Number Theory in the Spirit of Ramanujanより

$-1\lt q \lt 1$の範囲でラマヌジャンのテータ関数の１つ$\varphi(q)$を $$\varphi(q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}$$ と定義しました。

Chapter 5 Lemma 5.2.7
$$_2 F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-\frac{\varphi\left(-q\right)^4}{\varphi\left(q\right)^4}\right)=\varphi\left(q\right)^2$$ が成り立つ。


この証明にはLemma 5.2.6で証明した下記の式F1を起点として使います。

In [1]:
F1:hypergeometric([1/2,1/2],[1],1-phi(-q)^4/phi(q)^4)=phi(q)^2/phi(q^2)^2*hypergeometric([1/2,1/2],[1],1-phi(-q^2)^4/phi(q^2)^4);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q\right)^4}{\varphi\left(q\right)^4}\right)=\frac{F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q^2\right)^4}{\varphi\left(q^2\right)^4}\right)\,\varphi\left(q\right)^2}{\varphi\left(q^2\right)^2}\] 
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::SIMP-HYPERGEOMETRIC in DEFUN

この等式の$q$を$q^2$で置き換えてみます。

In [2]:
F2:subst(q^2,q,F1);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q^2\right)^4}{\varphi\left(q^2\right)^4}\right)=\frac{F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q^4\right)^4}{\varphi\left(q^4\right)^4}\right)\,\varphi\left(q^2\right)^2}{\varphi\left(q^4\right)^2}\]

得られた式を使って元の式F1の右辺に現れる超幾何関数を書き換えます。

In [3]:
F3:F1,F2;
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q\right)^4}{\varphi\left(q\right)^4}\right)=\frac{F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q^4\right)^4}{\varphi\left(q^4\right)^4}\right)\,\varphi\left(q\right)^2}{\varphi\left(q^4\right)^2}\]

元の等式F1の$q$を全て$q^4$で置き換えます。

In [4]:
F4:subst(q^4,q,F1);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q^4\right)^4}{\varphi\left(q^4\right)^4}\right)=\frac{F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q^8\right)^4}{\varphi\left(q^8\right)^4}\right)\,\varphi\left(q^4\right)^2}{\varphi\left(q^8\right)^2}\]

得られた式F4を使って等式F3の右辺の超幾何関数を書き換えます。

In [5]:
F5:F3,F4;
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q\right)^4}{\varphi\left(q\right)^4}\right)=\frac{F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q^8\right)^4}{\varphi\left(q^8\right)^4}\right)\,\varphi\left(q\right)^2}{\varphi\left(q^8\right)^2}\]

この操作を繰り返すことにより$m$を自然数として（正確には数学的帰納法で）次の式は明らかです。

In [6]:
F6:subst(2^m,8,F5);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q\right)^4}{\varphi\left(q\right)^4}\right)=\frac{F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q^{2^{m}}\right)^4}{\varphi\left(q^{2^{m}}\right)^4}\right)\,\varphi\left(q\right)^2}{\varphi\left(q^{2^{m}}\right)^2}\]

$m\rightarrow \infty$とすると$q^{2^m}\rightarrow 0$となり、$\varphi(\pm{q^{2^m}})\rightarrow \varphi(0)=1$となります。これと、

In [10]:
'hypergeometric([1/2,1/2],[1],0)=hypergeometric([1/2,1/2],[1],0);
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}{\it hypergeometric}\left(\left[ \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right] , \left[ 1 \right] , 0\right)=1\]

および超幾何関数とテータ関数の必要な点での連続性により、

In [8]:
lhs(F6)=phi(q)^2;
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,1-\frac{\varphi\left(-q\right)^4}{\varphi\left(q\right)^4}\right)=\varphi\left(q\right)^2\]

が得られます。