ガウスの超幾何関数には次の式によるオイラー積分表示があります。この積分表示の証明をMaximaを使って追ってみます。

In [1]:
F1:hypergeometric([a,b],[c],z)=gamma(c)/(gamma(c-a)*gamma(a))*'integrate(t^(a-1)*(1-t)^(c-a-1)*(1-t*z)^(-b),t,0,1);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}F\left( \left. \begin{array}{c}a,\;b\\c\end{array} \right |,z\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)\,\int_{0}^{1}{\frac{\left(1-t\right)^{c-a-1}\,t^{a-1}}{\left(1-t\,z\right)^{b}}\;dt}}{\Gamma\left(a\right)\,\Gamma\left(c-a\right)}\] 
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::SIMP-HYPERGEOMETRIC in DEFUN
In [2]:
assume(z-1<0)$
assume(-1<z)$
F2:part(F1,2,1,2);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\int_{0}^{1}{\frac{\left(1-t\right)^{c-a-1}\,t^{a-1}}{\left(1-t\,z\right)^{b}}\;dt}\]

この積分の部分をうまく式変形して行きます。非積分関数は３つの関数の積になっていますが、その３番目の項の式変形を考えます。見通しを良くするために$x=t\,z$とします。

In [3]:
F3:inpart(F2,1,3);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\frac{1}{\left(1-t\,z\right)^{b}}\]
In [4]:
F4:subst(x,t*z,F3);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\frac{1}{\left(1-x\right)^{b}}\]

Maximaを使って冪級数に展開すると以下のような結果を得ます。

In [5]:
beta_expand:false$
F5:niceindices(powerseries(F4,x,0)),niceindicespref:[n];
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\frac{\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\left(-1\right)^{n}\,x^{n}}{\beta\left(-n-b+1 , n+1\right)}}}{1-b}+1\]
In [6]:
F6:part(F5,1,1,1);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\frac{\left(-1\right)^{n}\,x^{n}}{\beta\left(-n-b+1 , n+1\right)}\]
In [7]:
F7:F6,n:0;
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}1-b\]

総和の中の式を取り出し$n=0$を代入すると$1-b$になることが分りました。従って約分できて第１項としては$1$になります。つまり第２項の$1$は$n=0$として総和にまとめることができ、以下の式が成り立ちます。

In [8]:
F6:intosum(substpart(0,part(F5,1),1,3))$
F5=F6;
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{12}$}\frac{\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\left(-1\right)^{n}\,x^{n}}{\beta\left(-n-b+1 , n+1\right)}}}{1-b}+1=\sum_{n=0}^{\infty }{\frac{\left(-1\right)^{n}\,x^{n}}{\left(1-b\right)\,\beta\left(-n-b+1 , n+1\right)}}\]

右辺の冪級数の係数を実はポッホハマー記号と階乗で、下記のように簡単に書くことができます。これを証明してみましょう。方針としては下記の右辺、左辺をガンマ関数で表して、左辺　割る　右辺を計算します。

In [9]:
F7:coeff(part(F6,1),x,n)=pochhammer(b,n)/n!;
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{13}$}\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(1-b\right)\,\beta\left(-n-b+1 , n+1\right)}=\frac{\left(b\right)_{n}}{n!}\] 
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::SIMP-UNIT-STEP in DEFUN
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::SIMP-POCHHAMMER in DEFUN
In [10]:
F8:makegamma([lhs(F7),rhs(F7)]);
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{14}$}\left[ \frac{\Gamma\left(2-b\right)\,\left(-1\right)^{n}}{\left(1-b\right)\,\Gamma\left(-n-b+1\right)\,\Gamma\left(n+1\right)} , \frac{\Gamma\left(n+b\right)}{\Gamma\left(b\right)\,\Gamma\left(n+1\right)} \right] \]
In [11]:
F9:F8[1]/F8[2];
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{15}$}\frac{\Gamma\left(2-b\right)\,\Gamma\left(b\right)\,\left(-1\right)^{n}}{\left(1-b\right)\,\Gamma\left(-n-b+1\right)\,\Gamma\left(n+b\right)}\]

この式が$0 \le n$なる整数$n$について$1$であることを数学的帰納法を使って示します。まず$n=0$の場合です。

In [12]:
F9,gamma_expand:true,n:0;
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{16}$}1\]

次に%o15が1であることを仮定して、%o15の$n$を$n+1$に置き換えた次式も値が$1$になることを示します。

In [13]:
F11:subst((n+1),n,F9);
Out[13]:
\[\tag{${\it \%o}_{17}$}\frac{\Gamma\left(2-b\right)\,\Gamma\left(b\right)\,\left(-1\right)^{n+1}}{\left(1-b\right)\,\Gamma\left(-n-b\right)\,\Gamma\left(n+b+1\right)}\]

この式を%o15（その値は1と仮定）で割ってMaximaの簡約処理を実行します。

In [14]:
F12:F11/F9;
Out[14]:
\[\tag{${\it \%o}_{18}$}-\frac{\Gamma\left(-n-b+1\right)\,\Gamma\left(n+b\right)}{\Gamma\left(-n-b\right)\,\Gamma\left(n+b+1\right)}\]
In [15]:
F12,gamma_expand:true,ratsimp;
Out[15]:
\[\tag{${\it \%o}_{19}$}1\]

というわけで%o17を$1$で割ったら$1$になるのですから、%o17も$1$です。数学的帰納法により$0$以上の任意の整数$n$について%o15が1となること、従って%o13が成り立つことがわかりました。%o13を積分に代入することで次式が分かります。

In [16]:
F2=substinpart(sum(pochhammer(b,n)*(z*t)^n/n!,n,0,inf),F2,1,3);
Out[16]:
\[\tag{${\it \%o}_{20}$}\int_{0}^{1}{\frac{\left(1-t\right)^{c-a-1}\,t^{a-1}}{\left(1-t\,z\right)^{b}}\;dt}=\int_{0}^{1}{\left(1-t\right)^{c-a-1}\,t^{a-1}\,\sum_{n=0}^{\infty }{\frac{\left(b\right)_{n}\,t^{n}\,z^{n}}{n!}}\;dt}\]

今回はここまでとしましょう。

Euler integral of Hypergeometric functions

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In [ ]: