クローゼンの公式 $$_{2}F_1\left(a,b;a+b+\frac12;x\right)^2= {}_3F_2\left(2\,a,2\,b,a+b;2\,a+2\,b,a+b+\frac12;x\right)$$ ２次変換公式 $${}_2F_1\left(a,b;\frac{a+b+1}{2};z\right)={}_2F_1\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}; \frac{a+b+1}{2}; 4\,z\,(1-z)\right)$$ から以下の式を導きます。 $$_{2}F_1\left(\frac12,\frac12;1;x\right)^2= {}_3F_2\left(\frac12,\frac12,\frac12;1,1;4\,x\,(1-x)\right)$$



まず、クローゼンの公式にCLという名前をつけます。

In [1]:
CL:hypergeometric([a,b],[a+b+1/2],x)^2=hypergeometric([2*a,2*b,a+b],[2*a+2*b,a+b+1/2],x);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}F\left( \left. \begin{array}{c}a,\;b\\b+a+\frac{1}{2}\end{array} \right |,x\right)^2=F\left( \left. \begin{array}{c}2\,a,\;2\,b,\;b+a\\b+a+\frac{1}{2},\;2\,b+2\,a\end{array} \right |,x\right)\] 
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::SIMP-HYPERGEOMETRIC in DEFUN

この式で$a=b=\frac{1}{4}, x=4\,z\,(1-z)$とし、その式にCL1と名前をつけます。

In [2]:
CL1:CL,a=1/4,b=1/4,x=4*z*(1-z);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{4},\;\frac{1}{4}\\1\end{array} \right |,4\,\left(1-z\right)\,z\right)^2=F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1,\;1\end{array} \right |,4\,\left(1-z\right)\,z\right)\]

次に2次変換公式にQTという名前をつけます。

In [3]:
QT:hypergeometric([a,b],[(a+b+1)/2],z)=hypergeometric([a/2,b/2],[(a+b+1)/2],4*z*(1-z));
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}F\left( \left. \begin{array}{c}a,\;b\\\frac{b+a+1}{2}\end{array} \right |,z\right)=F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{a}{2},\;\frac{b}{2}\\\frac{b+a+1}{2}\end{array} \right |,4\,\left(1-z\right)\,z\right)\]

この式で$a=b=\frac12$としてみます。

In [4]:
QT,a=1/2,b=1/2;
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,z\right)=F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{4},\;\frac{1}{4}\\1\end{array} \right |,4\,\left(1-z\right)\,z\right)\]

両辺を入れ替えます。

In [5]:
rhs(%)=lhs(%);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{4},\;\frac{1}{4}\\1\end{array} \right |,4\,\left(1-z\right)\,z\right)=F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,z\right)\]

CL1に上記の式を代入します。

In [6]:
CL1,%;
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1\end{array} \right |,z\right)^2=F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{1}{2},\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}\\1,\;1\end{array} \right |,4\,\left(1-z\right)\,z\right)\]

これで所望の式が得られました。

In [ ]: