コーシー積は以下の公式で求められます。

In [1]:
sum(A[n]*x^n,n,0,inf)*sum(B[n]*x^n,n,0,inf)=sum(sum(A[j]*B[k-j]*x^k,j,0,k),k,0,inf);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}\left(\sum_{n=0}^{\infty }{A_{n}\,x^{n}}\right)\,\sum_{n=0}^{\infty }{B_{n}\,x^{n}}=\sum_{k=0}^{\infty }{\left(\sum_{j=0}^{k}{A_{j}\,B_{k-j}}\right)\,x^{k}}\]

今回は冪級数の２乗ですから$A_n=B_n$として、$A_n$にポッホハマー記号を用いた定義式を与えます。そのために下記の定義式を思い出します。 $${}_{2}F_1\left(a,b;a+b+\frac12;x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(a)_n\,(b)_n\,x^n}{(a+b+\frac12)_n\,n!}}$$

In [2]:
A[n]:=pochhammer(a,n)*pochhammer(b,n)/(pochhammer(a+b+1/2,n)*n!);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}A_{n}:=\frac{{\it pochhammer}\left(a , n\right)\,{\it pochhammer}\left(b , n\right)}{{\it pochhammer}\left(a+b+\frac{1}{2} , n\right)\,n!}\]

$C_n$としてコーシー積の公式の右辺の$n$次の係数を計算します。

In [3]:
C[n]:=sum(A[j]*A[n-j],j,0,n);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}C_{n}:={\it sum}\left(A_{j}\,A_{n-j} , j , 0 , n\right)\]

実際に$C_0, C_1, C_2, C_3$を計算してみます。

In [4]:
CC:[C[0],C[1],C[2],C[3]];
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\left[ 1 , \frac{2\,a\,b}{b+a+\frac{1}{2}} , \frac{a\,\left(a+1\right)\,b\,\left(b+1\right)}{\left(b+a+\frac{1}{2}\right)\,\left(b+a+\frac{3}{2}\right)}+\frac{a^2\,b^2}{\left(b+a+\frac{1}{2}\right)^2} , \frac{a\,\left(a+1\right)\,\left(a+2\right)\,b\,\left(b+1\right)\,\left(b+2\right)}{3\,\left(b+a+\frac{1}{2}\right)\,\left(b+a+\frac{3}{2}\right)\,\left(b+a+\frac{5}{2}\right)}+\frac{a^2\,\left(a+1\right)\,b^2\,\left(b+1\right)}{\left(b+a+\frac{1}{2}\right)^2\,\left(b+a+\frac{3}{2}\right)} \right] \] 
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::SIMP-UNIT-STEP in DEFUN
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::SIMP-POCHHAMMER in DEFUN

同様に$${}_3F_2\left(2\,a,2\,b,a+b;2\,a+2\,b,a+b+\frac12;x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(2\,a)_n\,(2\,b)_n\,(a+b)_n\,x^n}{(2\,a+2\,b)_n\,(a+b+\frac12)_n\,n!}}$$を思い出します。$D_n$をこの冪級数の$n$次の係数とします。

In [5]:
D[n]:=pochhammer(2*a,n)*pochhammer(2*b,n)*pochhammer(a+b,n)/(pochhammer(2*a+2*b,n)*pochhammer(a+b+1/2,n)*n!);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}D_{n}:=\frac{\left(\left(2\,a\right)\right)_{n}\,\left(\left(2\,b\right)\right)_{n}\,\left(\left(a+b\right)\right)_{n}}{\left(\left(2\,a+2\,b\right)\right)_{n}\,\left(\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\right)_{n}\,n!}\]

実際に$D_0, D_1, D_2, D_3$を計算してみます。

In [6]:
DD:[D[0],D[1],D[2],D[3]];
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\left[ 1 , \frac{4\,a\,b\,\left(b+a\right)}{\left(b+a+\frac{1}{2}\right)\,\left(2\,b+2\,a\right)} , \frac{2\,a\,\left(2\,a+1\right)\,b\,\left(b+a\right)\,\left(b+a+1\right)\,\left(2\,b+1\right)}{\left(b+a+\frac{1}{2}\right)\,\left(b+a+\frac{3}{2}\right)\,\left(2\,b+2\,a\right)\,\left(2\,b+2\,a+1\right)} , \frac{2\,a\,\left(2\,a+1\right)\,\left(2\,a+2\right)\,b\,\left(b+a\right)\,\left(b+a+1\right)\,\left(b+a+2\right)\,\left(2\,b+1\right)\,\left(2\,b+2\right)}{3\,\left(b+a+\frac{1}{2}\right)\,\left(b+a+\frac{3}{2}\right)\,\left(b+a+\frac{5}{2}\right)\,\left(2\,b+2\,a\right)\,\left(2\,b+2\,a+1\right)\,\left(2\,b+2\,a+2\right)} \right] \]

$CC=[C_0, C_1, C_2, C_3]$から$DD=[D_0, D_1, D_2, D_3]$を引き算します。リストの引き算では独立に要素ごとに計算されます。

In [7]:
CC-DD,ratsimp;
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\left[ 0 , 0 , 0 , 0 \right] \]

これで定理の両辺のマクローリン展開の$0\sim 3$次の係数が等しいことがわかり、証明は終了しました。