ガウス超幾何関数の2次変換公式

$${}_2F_1\left(a,b;\frac{a+b+1}{2};z\right)={}_2F_1\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}; \frac{a+b+1}{2}; 4\,z\,(1-z)\right)$$

を証明します。

証明の方針は公式の右辺と左辺が同じ微分方程式を満足すること、初期値が十分に等しいことを示すこととします。 この証明は子葉さんの記事の定理４（２次変換公式）をほぼそのままMaximaの式変形コマンドに直したものになっています。

まず平行代入のための道具をロードしておきます。

In [1]:
load("to_poly_solve_extra.lisp");
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}\mbox{ /Users/yasube/Programming2/maxima-5.44.0-install/share/maxima/5.44.0/share/to\_poly\_solve/to\_poly\_solve\_extra.lisp }\] 
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::$NONNEGINTEGERP in DEFUN
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::$POLYNOMIALP in DEFUN
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFUN: redefining MAXIMA::POLYNOMIALP in DEFUN
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFMACRO: redefining MAXIMA::OPAPPLY in DEFMACRO
SB-KERNEL:REDEFINITION-WITH-DEFMACRO: redefining MAXIMA::OPCONS in DEFMACRO

以下のDFはガウス超幾何関数$F(x)={}_2F_1(a,b;c;z)$が満たす超幾何微分方程式です。

In [2]:
DF:(x-x^2)*diff(F(x),x,2)+((-b-a-1)*x+c)*diff(F(x),x)-a*b*F(x)=0;
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\left(x-x^2\right)\,\left(\frac{d^2}{d\,x^2}\,F\left(x\right)\right)+\left(\left(-b-a-1\right)\,x+c\right)\,\left(\frac{d}{d\,x}\,F\left(x\right)\right)-a\,b\,F\left(x\right)=0\]

以下のDF1は公式の左辺$F(z)={}_2F_1\left(a,b;\frac{a+b+1}{2};z\right)$が満たす微分方程式です。超幾何微分方程式の$c$に$\frac{a+b+1}{2}$を代入して得られます。

In [3]:
DF1:subst_parallel([c=(a+b+1)/2,x=z],DF);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\left(z-z^2\right)\,\left(\frac{d^2}{d\,z^2}\,F\left(z\right)\right)+\left(\left(-b-a-1\right)\,z+\frac{b+a+1}{2}\right)\,\left(\frac{d}{d\,z}\,F\left(z\right)\right)-a\,b\,F\left(z\right)=0\]

公式の右辺を$G(z)={}_2F_1\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}; \frac{a+b+1}{2}; 4\,z\,(1-z)\right)$とします。またこの右辺で$w=4\,z\,(1-z)$とした$g(w)={}_2F_1\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}; \frac{a+b+1}{2}; w\right)$とします。次の式が成り立ちます。 $$G(z)=g(w)$$ 以下のDF2は$g(w)$が満たす微分方程式です。

In [4]:
DF2:subst_parallel([F=g,a=a/2,b=b/2,c=(a+b+1)/2,x=w],DF);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\left(w-w^2\right)\,\left(\frac{d^2}{d\,w^2}\,g\left(w\right)\right)+\left(\left(-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}-1\right)\,w+\frac{b+a+1}{2}\right)\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)-\frac{a\,b\,g\left(w\right)}{4}=0\]

ここからは$G(z)$の1階微分、2階微分を計算し、それらをDF1の左辺の$F(z)$に代入して整理すると$0$になること、従って$G(z)$もDF1を満たすことを示します。

まず$\frac{d}{d\,z}\,G(z)$を、合成関数の微分および$w=4\,z\,(1-z)$を使って計算し、結果をD1とします。

In [5]:
depends(w,z);
D0:G(z)=g(w);
diff(G(z),z)=diff(g(w),w)*diff(w,z);
D1:%,diff(w,z)=diff(4*(1-z)*z,z);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\left[ w\left(z\right) \right] \]
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}G\left(z\right)=g\left(w\right)\]
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\frac{d}{d\,z}\,G\left(z\right)=\frac{d}{d\,z}\,w\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)\]
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\frac{d}{d\,z}\,G\left(z\right)=\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\,\left(4\,\left(1-z\right)-4\,z\right)\]

D1を微分することで$G(z)$の２階微分を計算します。またこの段階で$z$と$w$の関係式を使うことで計算結果から$z$を消去しておきます。その結果をD2とします。

In [6]:
diff(D1,z);
DD:%,diff(diff(g(w),w),z)=diff(diff(g(w),w),w)*diff(4*(1-z)*z,z);
EL:eliminate([k=(4*(1-z)-4*z)^2,w=4*z-4*z^2],[z,k]);
D2:subst(EL[1],(4*(1-z)-4*z)^2,DD);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\frac{d^2}{d\,z^2}\,G\left(z\right)=\frac{d^2}{d\,w\,d\,z}\,g\left(w\right)\,\left(4\,\left(1-z\right)-4\,z\right)-8\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)\]
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\frac{d^2}{d\,z^2}\,G\left(z\right)=\frac{d^2}{d\,w^2}\,g\left(w\right)\,\left(4\,\left(1-z\right)-4\,z\right)^2-8\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)\]
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}\left[ 16-16\,w \right] \]
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}\frac{d^2}{d\,z^2}\,G\left(z\right)=\left(16-16\,w\right)\,\left(\frac{d^2}{d\,w^2}\,g\left(w\right)\right)-8\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)\]

DF1の左辺の$F(z)$に$G(z)$を代入してみます。

In [7]:
lhs(DF1),F=G;
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{12}$}\left(z-z^2\right)\,\left(\frac{d^2}{d\,z^2}\,G\left(z\right)\right)+\left(\left(-b-a-1\right)\,z+\frac{b+a+1}{2}\right)\,\left(\frac{d}{d\,z}\,G\left(z\right)\right)-a\,b\,G\left(z\right)\]

すでに求めた$G(z)$の1階微分、2階微分、及び定義式そのものを上記の式に代入し、DF3とします。

In [8]:
DF3:%,D1,D2,D0;
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{13}$}\left(\left(16-16\,w\right)\,\left(\frac{d^2}{d\,w^2}\,g\left(w\right)\right)-8\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)\right)\,\left(z-z^2\right)+\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\,\left(4\,\left(1-z\right)-4\,z\right)\,\left(\left(-b-a-1\right)\,z+\frac{b+a+1}{2}\right)-a\,b\,g\left(w\right)\]

DF3は３つの項の和になっています。それぞれの項に含まれる変数$z$を$w$の式に置き換えることで消去します。

In [9]:
DF31:args(DF3)[1],z-z^2=w/4,ratsimp;
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{14}$}\left(4\,w-4\,w^2\right)\,\left(\frac{d^2}{d\,w^2}\,g\left(w\right)\right)-2\,w\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)\]
In [10]:
factor(args(DF3)[2]);
DF32:%,(2*z-1)^2=1-w;
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{15}$}2\,\left(b+a+1\right)\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)\,\left(2\,z-1\right)^2\]
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{16}$}2\,\left(b+a+1\right)\,\left(1-w\right)\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)\]
In [11]:
DF33:args(DF3)[3];
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{17}$}-a\,b\,g\left(w\right)\]

等式変形の結果のDF31, DF32, DF33を足すことでDF3と等しい式を求めます。

In [12]:
DF31+DF32+DF33;
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{18}$}\left(4\,w-4\,w^2\right)\,\left(\frac{d^2}{d\,w^2}\,g\left(w\right)\right)-2\,w\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)+2\,\left(b+a+1\right)\,\left(1-w\right)\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)-a\,b\,g\left(w\right)\]

上記の式からDF2の左辺を４倍した式（それはゼロなのですが）を引いてみます。

In [13]:
%-lhs(DF2)*4;
Out[13]:
\[\tag{${\it \%o}_{19}$}-4\,\left(\left(w-w^2\right)\,\left(\frac{d^2}{d\,w^2}\,g\left(w\right)\right)+\left(\left(-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}-1\right)\,w+\frac{b+a+1}{2}\right)\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)-\frac{a\,b\,g\left(w\right)}{4}\right)+\left(4\,w-4\,w^2\right)\,\left(\frac{d^2}{d\,w^2}\,g\left(w\right)\right)-2\,w\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)+2\,\left(b+a+1\right)\,\left(1-w\right)\,\left(\frac{d}{d\,w}\,g\left(w\right)\right)-a\,b\,g\left(w\right)\]
In [14]:
ratsimp(%);
Out[14]:
\[\tag{${\it \%o}_{20}$}0\]

これでDF3が実は$0$と等しいこと、従って$G(z)$はDF1を満たすことが証明できました。

最後に$F(0)=G(0), F'(0)=G'(0), F''(0)=G''(0)$を示します。これらは定義に戻って示しても良いのですが、面倒なので、これらの微分係数を全てMaximaで数式計算して等しいことを示します。

In [23]:
F(x):=hypergeometric([a,b],[(a+b+1)/2],x);
define(DF(x),diff(F(x),x));
define(DDF(x),diff(F(x),x,2));
[F(0),DF(0),DDF(0)],ratsimp;
Out[23]:
\[\tag{${\it \%o}_{42}$}F\left(x\right):=F\left( \left. \begin{array}{c}a,\;b\\\frac{a+b+1}{2}\end{array} \right |,x\right)\]
Out[23]:
\[\tag{${\it \%o}_{43}$}{\it DF}\left(x\right):=\frac{2\,a\,F\left( \left. \begin{array}{c}a+1,\;b+1\\\frac{b+a+1}{2}+1\end{array} \right |,x\right)\,b}{b+a+1}\]
Out[23]:
\[\tag{${\it \%o}_{44}$}{\it DDF}\left(x\right):=\frac{2\,a\,\left(a+1\right)\,F\left( \left. \begin{array}{c}a+2,\;b+2\\\frac{b+a+1}{2}+2\end{array} \right |,x\right)\,b\,\left(b+1\right)}{\left(b+a+1\right)\,\left(\frac{b+a+1}{2}+1\right)}\]
Out[23]:
\[\tag{${\it \%o}_{45}$}\left[ 1 , \frac{2\,a\,b}{b+a+1} , \frac{\left(4\,a^2+4\,a\right)\,b^2+\left(4\,a^2+4\,a\right)\,b}{b^2+\left(2\,a+4\right)\,b+a^2+4\,a+3} \right] \]
In [22]:
G(x):=hypergeometric([a/2,b/2],[(a+b+1)/2],4*x*(1-x));
define(DG(x),diff(G(x),x));
define(DDG(x),diff(G(x),x,2));
[G(0),DG(0),DDG(0)],ratsimp;
Out[22]:
\[\tag{${\it \%o}_{38}$}G\left(x\right):=F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{a}{2},\;\frac{b}{2}\\\frac{a+b+1}{2}\end{array} \right |,4\,x\,\left(1-x\right)\right)\]
Out[22]:
\[\tag{${\it \%o}_{39}$}{\it DG}\left(x\right):=\frac{F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{a}{2}+1,\;\frac{b}{2}+1\\\frac{b+a+1}{2}+1\end{array} \right |,4\,\left(1-x\right)\,x\right)\,a\,b\,\left(4\,\left(1-x\right)-4\,x\right)}{2\,\left(b+a+1\right)}\]
Out[22]:
\[\tag{${\it \%o}_{40}$}{\it DDG}\left(x\right):=\frac{F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{a}{2}+2,\;\frac{b}{2}+2\\\frac{b+a+1}{2}+2\end{array} \right |,4\,\left(1-x\right)\,x\right)\,\left(\frac{a}{2}+1\right)\,a\,\left(\frac{b}{2}+1\right)\,b\,\left(4\,\left(1-x\right)-4\,x\right)^2}{2\,\left(b+a+1\right)\,\left(\frac{b+a+1}{2}+1\right)}-\frac{4\,F\left( \left. \begin{array}{c}\frac{a}{2}+1,\;\frac{b}{2}+1\\\frac{b+a+1}{2}+1\end{array} \right |,4\,\left(1-x\right)\,x\right)\,a\,b}{b+a+1}\]
Out[22]:
\[\tag{${\it \%o}_{41}$}\left[ 1 , \frac{2\,a\,b}{b+a+1} , \frac{\left(4\,a^2+4\,a\right)\,b^2+\left(4\,a^2+4\,a\right)\,b}{b^2+\left(2\,a+4\right)\,b+a^2+4\,a+3} \right] \]

確かに[F(0),DF(0),DDF(0)]と[G(0),DG(0),DDG(0)]は一致していますから、これで全ての証明が終了しました。

In [ ]: