定理　　次の２つの式が成り立つ。 $$ P\left(e^ {- 2\,\pi\,\sqrt{n} }\right)=\left(1-2\,x_{n}\right)\,\sum_{k=0}^{\infty }{\left(3\,k+1\right)\,A_{k}\,X_{n}^{k}}$$ $$ \frac{6\,\sqrt{n}}{\pi}-P\left(e^ {- \frac{2\,\pi}{\sqrt{n}} }\right)=n\,P\left(e^ {- 2\,\pi\,\sqrt{n} }\right) $$ ただし$q, x_n, X_n, z_n$を次のように定義する。 $n$を適当な自然数として$q$を$q=e^{-\pi\,\sqrt{n}}$と定義する。$q=exp(-\pi\,\frac{{}_2F_1(\frac12,\frac12;1;1-x)}{{}_2F_1(\frac12,\frac12;1;x)})$だったから$\sqrt{n}=\frac{{}_2F_1(\frac12,\frac12;1;1-x)}{{}_2F_1(\frac12,\frac12;1;x)}$。そこでそうなる$x$を$x_n$と表記する。この$x_n$を使って$z_n, X_n$を次のように定義する。$z_n={}_2F_1(\frac12,\frac12;1;x_n), X_n=4\,x_n\,(1-x_n)$。



系 $$1-24\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^ {- 2\,\pi\,n }}{1-e^ {- 2\,\pi\,n }}}=\frac{3}{\pi} $$

定理の証明は前回証明した次の２つの式変形して行います。とは言っても上記の$q=e^{-\pi\,\sqrt{n}}$の定義を代入して整理するだけです。 $$ P(q^2)=(1-2\,x)\sum_{k=0}^{\infty}(3\,k+1)\,A_k\,X^k $$ $$ 6-a\,P\left(e^ {- 2\,a }\right)=b\,P\left(e^ {- 2\,b }\right) $$

In [1]:
P(q^2)=(1-2*x)*sum((3*k+1)*A[k]*X^k,k,0,inf);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}P\left(q^2\right)=\left(\sum_{k=0}^{\infty }{X^{k}\,\left(3\,k+1\right)\,A_{k}}\right)\,\left(1-2\,x\right)\]
In [2]:
%,q=exp(-%pi*sqrt(n)),x=x[n], X=X[n];
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}P\left(e^ {- 2\,\pi\,\sqrt{n} }\right)=\left(1-2\,x_{n}\right)\,\sum_{k=0}^{\infty }{\left(3\,k+1\right)\,A_{k}\,X_{n}^{k}}\]

これで最初の式の証明は終了です。二番目の式の証明も簡明です。$a\,b=\pi^2$を満たす$a=\frac{\pi}{\sqrt{n}}, b=\pi\,\sqrt{n}$を次の式に代入して整理します。

In [3]:
A1:6-a*P(exp(-2*a))=b*P(exp(-2*b));
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}6-a\,P\left(e^ {- 2\,a }\right)=b\,P\left(e^ {- 2\,b }\right)\]
In [4]:
A2:A1,a=%pi/sqrt(n),b=%pi*sqrt(n);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}6-\frac{\pi\,P\left(e^ {- \frac{2\,\pi}{\sqrt{n}} }\right)}{\sqrt{n}}=\pi\,\sqrt{n}\,P\left(e^ {- 2\,\pi\,\sqrt{n} }\right)\]
In [5]:
A3:A2*sqrt(n)/%pi,expand;
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\frac{6\,\sqrt{n}}{\pi}-P\left(e^ {- \frac{2\,\pi}{\sqrt{n}} }\right)=n\,P\left(e^ {- 2\,\pi\,\sqrt{n} }\right)\]

これで証明は終了です。

系の証明はこの式で$n=1$とすることで自明に得られます。

In [6]:
%,n=1;
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\frac{6}{\pi}-P\left(e^ {- 2\,\pi }\right)=P\left(e^ {- 2\,\pi }\right)\]
In [7]:
solve(%,rhs(%));
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\left[ P\left(e^ {- 2\,\pi }\right)=\frac{3}{\pi} \right] \]
In [8]:
%,P(q):=1-24*sum(n*q^n/(1-q^n),n,1,inf);
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\left[ 1-24\,\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n\,e^ {- 2\,\pi\,n }}{1-e^ {- 2\,\pi\,n }}}=\frac{3}{\pi} \right] \]